利用“构造向量”处理一类不等式的问题

摘要：

一、构造形式
根据证明的问题和已知的柯西不等式,认清结构形式,然后再构造向量解决问题.
例1:(著名的Nesbitt不等式)已知a,b,c∈ R+,求证a/b+c +b/c+a + c/a+b≥3/2成立.
分析:本题初次审题时,发现几乎不能应用柯西不等式处理,但是结合欲证的内容,可以把向量巧设,从而达到目的.
证明:由a,b,c∈R+知,(a+b+c)2=a2+b2 +c2+ 2ab+ 2bc+2ac≥3ab +3bc +3ac,所以得到:(a+b+c)2/ab+bc+ac≥3.现在分别构造向量:m=(√a√b+c,√b√c+a,√c√a+b),n=(√a/√b+c,√b/√c+a,√c/√a+b),由柯西不等式知:(a+b+c)2≤[a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)]a/b+a + b/c+a + c/a+b,整理得到(a+b+c)2/2(ab+bc+ca)≤a/b+c + b/c+a + c/a+b,所以得3/2≤a/b+c+b/c+a + c/a+b成立.

机标关键词：不等式、构造向量

分类号：O178;G633.6;TP391

在线出版日期：2015-01-21（万方平台首次上网日期，不代表论文的发表时间）

页数：共1页

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