关于LCM方程的李-曹猜想的注记

摘要：

在研究Hong关于定义在gcd封闭集上的幂LCM矩阵[Se](e为正整数)的非奇异性的一个猜想时,李和曹研究了如下的不定方程(称为LCM方程):1lcm[y1,y2,y3,y4]-∑〖DD(;M]4i=11yi+1gcd(y1,y2)+1gcd(y1,y3)+1gcd(y2,y3)=0.他们首先证明了当ω(y)＜4时,方程无解,这里y=lcm[y1,y2,y3,y4],ω(y)表示y的不同素因子的个数;然后他们给出ω(y)=4且y=p21p22p23p2m4时,方程有2次幂整数解的必要条件,这里pi为不同素数,m≥1;根据这些必要条件他们接着验证了方程当y≤1 334 025时没有2次幂整数解;最后他们提出猜想:若n≤9,则定义在gcd封闭集S={x1,...,xn}上的平方LCM矩阵[S2]是非奇异的,即LCM方程没有2次幂整数解.本文作者推广了李-曹关于LCM方程有2次幂整数解的研究:首先给出了当ω(y)=4且y=p2m11p2m22p2m33p2m44时,方程有2次幂整数解的必要条件,并给出了当ω(y)≥4时,方程解的表达式(如果存在的话),这里pi为不同素数,mi≥1;然后根据这些必要条件在计算机上验证了方程当y≤260 620 460 100时没有2次幂整数解,进一步支持了李-曹猜想.

关键词：gcd封闭集、(幂)LCM矩阵、LCM方程

所属期刊栏目：45

分类号：O156.1(代数、数论、组合理论)

资助基金：国家自然科学基金10071001;安徽省自然科学基金01046103;安徽省教育厅自然科学基金2002KJ131

在线出版日期：2008-08-27（万方平台首次上网日期，不代表论文的发表时间）

页数：共4页

页码：467-470